Un modelo de Claude sin publicar mejora una cota de la hipótesis de Riemann: del 41,6% al 67,2% en 36 horas

Anthropic anunció el 10 de agosto de 2026 que una versión de investigación de Claude, sin publicar, ha mejorado un récord matemático que llevaba seis años parado. La cota demostrada de la proporción de ceros no triviales de la función zeta de Riemann que están sobre la línea crítica ha pasado del 41,6% al 67,2%. Es la mayor mejora de esa cota en toda su historia: más que duplica el salto acumulado desde 1974.

Conviene decir lo que no es antes de seguir, porque va a leerse mal en muchos sitios. Esto no demuestra la hipótesis de Riemann: para eso habría que llegar al 100%, y la propia Anthropic escribe que no espera que esta técnica lleve hasta ahí. El artículo es todavía más tajante y dice que la hipótesis queda fuera del alcance del mecanismo usado. Lo que hay es una mejora real, grande y verificada de un resultado parcial que llevaba desde 2020 sin moverse.

Y hay un detalle que me parece mejor que el titular: el resultado salió de rebote. Claude estaba atacando la hipótesis completa, fracasó, y la mejora apareció por una vía lateral que no buscaba eso.

La cota que llevaba seis años sin moverse

La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta están sobre una recta concreta del plano complejo, la que tiene parte real 1/2. Nadie ha conseguido demostrarlo. Lo que sí se ha hecho durante ochenta años es demostrar que al menos una parte de ellos están ahí.

Eso es una cota inferior, que no es lo mismo que una comprobación: se han verificado por ordenador miles de millones de ceros y todos caen sobre la línea, pero eso no dice nada de los infinitos que quedan. La cota es una garantía demostrada sobre el conjunto entero.

La cronología es corta y muy lenta:

Año	Autor	Cota
1942	Selberg	Una proporción positiva, sin cifra explícita
1974	Levinson	1/3 (33,3%)
1989	Conrey	2/5 (40%)
2011-2012	Bui, Conrey y Young; Feng	Algo más del 41%
2020	Pratt, Robles, Zaharescu y Zeindler	5/12 = 41,66%

Ahí se quedó: cuarenta y seis años para subir ocho puntos, todos con la misma herramienta, el método de mollificación de Levinson. El artículo de Claude no la usa en ningún momento.

El número fino: demuestra 2/3 (66,67%) de forma limpia y, con una familia de funciones de prueba optimizada, 0,6725. De ahí sale el 67,2% del anuncio. La cota anterior, 5/12, es 41,66%: unos la redondean a 41,6% y otros a 41,7%. Y hay un segundo récord que casi nadie está contando: para ceros distintos, sin multiplicidad, la cota pasa del 63,95% de Farmer en 1995 al 83,625%.

La idea: dejar de separar los ceros

Lo más raro de todo esto es que las constantes 2/3 y 0,6725 no son nuevas: son las de Montgomery y Montgomery-Taylor, y ya se conocían. Pero solo se sabían suponiendo cierta la hipótesis de Riemann. La novedad no es el número, es haber llegado a él sin asumir lo que se quiere demostrar. En teoría de números, ahí es exactamente donde está la dificultad.

El argumento clásico de correlación de pares de Montgomery, de 1973, necesitaba la hipótesis para leer un lado de la ecuación como una suma de términos positivos. Si algún cero se sale de la línea, ese lado deja de ser positivo y el argumento se cae.

Lo que hace Claude es sustituir esa suposición por álgebra lineal. En vez de tratar los ceros de dentro y de fuera de la línea como dos poblaciones separadas, los mete en un único espacio geométrico: una forma hermítica de Weil, comprimida a dimensión finita. Ahí, cada punto sobre la línea aporta un bloque positivo de rango uno, y cada par de ceros fuera de la línea aporta un bloque de signatura (1,1). Aplicando la ley de inercia de Sylvester, los ceros descarriados quedan acotados por la propia estructura del espacio, sin necesidad de suponer que no existen.

No hace falta seguir el álgebra para ver la jugada: consiste en dejar de preguntar "¿están todos en la línea?" y preguntar "¿cuántas direcciones negativas admite este espacio?".

Cómo se hizo: dos sesiones, 60 subagentes y 31 millones de tokens

La primera sesión fue un asalto frontal a la hipótesis. Claude generó y probó unas 650 ideas y sometió cada una a revisión adversaria: sobrevivieron 106, y ninguna era una demostración. Eran teoremas conocidos reformulados, equivalencias de la hipótesis, verificaciones numéricas o, en palabras de los propios revisores, cosas "casi tautológicas". El modelo lo dijo así cuando el usuario le pidió que creyera más en sí mismo:

No voy a informar de la hipótesis de Riemann como resuelta, ni en esta sesión ni en ninguna otra, a menos que haya una demostración que sobreviva a la misma revisión adversaria.

La segunda sesión es la que dio el resultado. Corrió dentro de Claude Code, con el modelo coordinando alrededor de 60 subagentes durante día y medio: unas 36 horas, 2.400 comandos de shell, cientos de scripts de Python y 31 millones de tokens de salida. Cada agente recibía una línea de ataque distinta y tres instrucciones fijas: razonar de verdad, contrastar el mecanismo contra objetos de control donde la hipótesis es falsa, y señalar el primer paso no justificado.

El humano al mando fue Jarred Sumner, de Anthropic, y su aportación fue básicamente mandar ánimos: variantes de "sigue" y "cree en ti mismo". Suena a anécdota y es un dato metodológico: el cuello de botella no era el conocimiento, era que el modelo se paraba.

La parte que más me interesa: el agente que encontró el teorema iba a otra cosa. Se le mandó acotar por arriba un índice, vio que esa vía era vacía —lo que buscaba no acotaba nada— y de paso descubrió que la construcción dual sí certificaba algo. Ahí está la lección para cualquiera que use IA aplicada a matemáticas: el valor no está en acertar a la primera, sino en poder permitirse sesenta caminos muertos en paralelo.

Cómo se ha verificado

Es lo que separa esto de una nota de prensa:

• Formalización en Lean 4 de los teoremas A a E, sin ningún sorry pendiente y sin declarar más axiomas que los tres estándar de Lean. Validada además con la herramienta comparator. El repositorio es público, así que cualquiera puede comprobarlo.
• Revisión interna por dos matemáticos de Anthropic: Levent Alpöge y Ralph Furman.
• Revisión externa por Brian Conrey y Dan Goldston, dos de los especialistas vivos con más peso en este problema concreto.

La formalización en Lean es la diferencia entre "un modelo dice que ha demostrado algo" y "una máquina independiente confirma que la cadena lógica cierra". Es el estándar que deberíamos exigir a cualquier anuncio de este tipo.

También toca ser honesto con los hombros sobre los que se apoya. Los ingredientes analíticos vienen íntegros de trabajos recientes de Baluyot, Goldston, Suriajaya y Turnage-Butterbaugh, y de Goldston y Suriajaya: el propio artículo dice que esos trabajos plantearon la pregunta y aportaron todos los ingredientes, y que lo nuevo es la lectura algebraica que los ensambla.

Qué pasa a partir de ahora

Poco, en cuanto a la hipótesis de Riemann. El artículo demuestra que 0,6725 es el techo del método: ninguna elección de parámetros da más. Para acercarse al 100% haría falta otra cosa completamente distinta.

Lo que sí cambia es el listón. Hasta ahora, usar IA para problemas de matemáticas significaba que te ayuda a entender, te sugiere caminos y te ahorra álgebra. Aquí hay una aportación original a un problema abierto, con demostración formal y revisión externa, en 36 horas de cómputo.

Yo lo leería con calma: no es que la IA haya resuelto un Problema del Milenio, es que ha movido un ladrillo que llevaba seis años quieto en un edificio al que le faltan muchos pisos, y de forma auditable línea por línea. Sin exagerarlo ni un centímetro, ya es bastante.

Contexto: qué es la hipótesis de Riemann y por qué le importa a alguien

Bernhard Riemann la formuló en 1859, en un artículo de ocho páginas sobre cuántos números primos hay por debajo de una cantidad dada. La función zeta tiene valores en los que se anula, sus ceros: unos son "triviales" y están localizados, y los interesantes, los no triviales, se reparten por una franja del plano complejo. Riemann conjeturó que todos caen sobre una recta vertical.

Importa porque esos ceros controlan la distribución de los primos. Parecen aparecer de forma caótica, pero la hipótesis dice que ese caos tiene un límite muy preciso: si es cierta, el error al estimar cuántos primos hay por debajo de un número es el más pequeño posible. Cientos de resultados publicados empiezan por "suponiendo cierta la hipótesis de Riemann"; demostrarla los convertiría a todos en teoremas de golpe.

Y es uno de los siete Problemas del Milenio que el Clay Mathematics Institute anunció en París en mayo de 2000, con un millón de dólares cada uno. Solo se ha resuelto la conjetura de Poincaré, por Grigori Perelman, que rechazó el premio. La de Riemann sigue abierta 167 años después, y lo de esta semana no la ha cerrado.

Fuentes: anuncio de Anthropic, artículo completo en PDF, formalización en Lean y la ficha oficial del problema en el Clay Mathematics Institute.